Geometría de quinto grado

Para continuar con los temas de geometría del grado quinto, es necesario recordar el plano cartesiano y los movimientos en el plano.

1.  EL PLANO CARTESIANO
Es el plano formado por la intersección de dos rectas numéricas que se cortan en un ángulo recto.
En el plano cartesiano se ubican puntos que se representan con una pareja de números, a la  que se denomina pareja ordenada.  
Las rectas que integran el plano se denominan ejes (La línea horizontal representa el eje de las X, la línea vertical representa el eje de las Y).
Los números de la pareja ordenada (X,Y) se conocen como coordenadas del punto.
Ejercicio en el plano cartesiano y realicelo en el cuaderno de geometría.
-  Ubica los puntos  A. (1,1),  B (1.5), C (5,2),  D(8,3), E(3,4), F (6,6), H(9,1)
Recuerda que el punto A (1 se ubica en el eje de las X y la otra coordenada, el 1 en el eje de las Y).
-   Ubica las siguientes coordenadas en el plano cartesiano:  A(4,8),  B (1,7),  C (0,5).
D (5,0),  E (2,3)
- Ubica las siguientes coordenadas en el plano cartesiano: A (6,4),  B(5,2),  C(2,5),  D(4,6),  E(3,3)
Observa el siguiente video, le ilustra la ubicación de los puntos.  

2. MOVIMIENTOS EN EL PLANO CARTESIANO.
Muchos movimientos lineales se pueden describir mediante traslaciones en el plano.

2.1.  La Traslación.
La traslación es un movimiento realizado por una figura al desplazarse en el plano, en una dirección.
La traslación tiene magnitud, que indica la cantidad de unidades que se desplaza.
Tiene dirección, determinada por la recta asociada al desplazamiento.
Tiene sentido, indicado por la punta de la recta asociada al desplazamiento.

Observa el siguiente video y complemente su aprendizaje.

Realice los siguientes ejercicios en su cuaderno de geometría.
Dibuje un plano cartesiano y ubique la figura de un triángulo, trasladelo 7 unidades a su lado derecho.
Dibuje un plano cartesiano y ubique un rectángulo, trasladelo 6 unidades hacia abajo.
2.2.  La rotación.
Es el movimiento mediante el cual una figura gira alrededor de un punto fijo llamado centro de rotación.  También requiere de sentido positivo (sentido contrario al de las manecillas del reloj), sentido negativo (el mismo sentido de las manecillas del reloj).  Adicionalmente necesita amplitud, que puede ser de 90 grados, 180 grados y 270 grados.  Si se rota 360 grados, regresa a su posición inicial.

Observe que la figura tiene un centro de rotación (0), sentido positivo en contra de las manecillas del reloj y tiene amplitud de 180 grados.  Se aprecia el método en que se tomó el ángulo con origen en el centro de rotación.

En su cuaderno de geometría, realice el siguiente ejercicio de rotación.
En el plano cartesiano ubique una figura de cuatro lados, ubique un punto de rotación, girelo en sentido negativo una amplitud de 180 grados o media vuelta de la circunferencia.

2.3.  Reflexión.
En este movimiento, la imagen de una figura se obtiene como su reflejo en un espejo.  Pasos para obtener la imagén de un polígono por reflexión.
-  Se trazan rectas perpendiculares al eje de reflexión, que pasen por los vértices del polígono.
-  Con la regla, se mide la distancia entre cada vértice y el eje de reflexión, y se ubican los respectivos vértices de la imagen al otro lado del eje.
-  Se traza el polígono imagen.

Observe que hay un eje de reflexión, la distancia de los vértices es igual al eje de reflexión ( B y B prima).
Observe el siguiente video.

En su cuaderno de geometría realice el siguiente ejercicio.
En un plano cartesiano dibuje un triángulo, trace un eje de reflexión y ubique el triángulo imagen.

3.    LA CIRCUNFERENCIA. 

Dentro  del cuadrado, se ha construido  una línea curva y cerrada y hemos señalado un punto interior  a la curva con la letra 0.  Observe que la distancia entre 0 y cualquier punto de la curva es siempre la misma.

Circunferencia

Distancia entre 0  y A es 3 cm

Distancia entre 0 y B es 3 cm

Distancia entre 0 y C  es 3 cm

Distancia entre 0 y D es 3 cm

Distancia entre 0 y E es 3 cm

Esta curva se conoce como una circunferencia.  El punto 0 se conoce como “centro de la circunferencia· y la distancia entre 0 y cualquier punto de ella es el radio.

 3.1.  Definición.

Según lo anterior, se afirma que la circunferencia es: UNA LINEA CURVA Y CERRADA CUYOS PUNTOS ESTAN TODOS A IGUAL DISTANCIA DE OTRO PUNTO INTERIOR CONOCIDO COMO CENTRO.

3.2.  Elementos de la circunferencia. En una circunferencia, se pueden reconocer los siguientes componentes:

-  Centro.  Punto 0 interior a la circunferencia que equidista o es igual desde cualquier punto de ella.

- Radio.  Segmento de recta   AO , OC,  OB, …, que une el centro de la circunferencia con cualquier  punto de ella.

- Diámetro.  Segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.  AB  es un diámetro.  El diámetro está formado por dos radios.

- Cuerda.  Segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.   DE  es una cuerda.  El diámetro es la cuerda de mayor longitud en una circunferencia

- Secante.   Es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos.   l  es una recta secante.

- Tangente.  Es una recta exterior a la circunferencia que tiene un punto en común con esta,  t es una recta tangente.

- Arco.  Es una porción de circunferencia.  AC es un arco de la circunferencia

Elementos de la circunferencia

Después de presentar los elementos de la circunferencia, es pertinente definir el círculo: ES LA PORCIÓN DEL PLAN O INTERIOR  A LA CIRCUNFERENCIA, ES DECIR, ELCONJUNTO DE TODOS LOS PUNTOS INTERIORES  A UNA CIRCUNFERENCIA.  

 3.3.  Cálculo del diámetro de la circunferencia.  El diámetro cabe en la circunferencia π veces.  Este signo es una constante  y los griegos la simbolizaron con la letra π  y le dieron un valor de 3,1416; así se puede acordar que

Π = 3,1416

 Por tanto, la longitud de una circunferencia se obtiene multiplicando la longitud de su diámetro por π

Longitud de la circunferencia = diámetro x  π

Lc  = D x π  como D  = 2r, entonces       Lc  =  2 r π, donde π 0 3,1416

Lc  =   2  x  r  x  π

Ejemplo: la tapa de una caneca cilíndrica tiene un radio de 20 cm.  ¿Cuál es la longitud de la circunferencia que delimita la tapa de la caneca?

Lc   =   2   x 20   x π          

Lc   =   2  x   20   x 3,1416

Lc   =   40  x 3,1416

Lc  =    125, 664 cm

La longitud de la caneca que delimita la tapa de la caneca es 125,664  cm

 Ejemplo 2.  Halla la longitud de una circunferencia que mide 12 cm de diámetro.

Lc  =  2  x  r   x  π          

Lc  =  2  x  6  (por que el diámetro está formado por dos radios)   x  π

Lc  =  2  x  6  x 3,1416

Lc  =  12  x  3,1416

Lc  =  37,69  cm.         La longitud de la circunferencia es de 37,69 cm 

Este video nos ilustra sobre la manera para hallar la lngitud de la circunferencia

3.4.    Area del círculo.   Se obtiene de multiplicar  a π por el radio al cuadrado

A  =  π por r al cuadrado

Π  = 3,14        trabajaremos con estos números decimales para calcular la longitud y el área.

Ejemplo: calcular el área de un círculo de radio  25 cm

A  =   π  por r al cuadrado           

A   = 3,14  x   r al cuadrado

A   =  3,14   x  (25  x  25)          porque el 25 esta elevado a la dos, indica que debemos multiplicarlo dos veces.

A   =  3,14   x    625  

A   =  1962,5  cm cuadrados

En el siguiente video se complementa el cálculo del área del círculo.

  

3.4.1.  Con lo anterior podemos calcular el área de la región de una figura así: El área está formada por un rectángulo de la base 20 cm y altura 12 cm, y un círculo de radio 10 cm en medio.

Area del rectángulo:   20 cm   x   12 cm  = 240 cm cuadrados

Area de la mitad del círculo  =  3,14  x    (10 cm) elevados al cuadrado  /  2         Se divide entre dos porque es medio círculo.

Area de la mitad del círculo = 3,14     x   100   cm al cuadrado   /  2    

Area de la mitad del círculo =  314  x 100 cm al cuadrado    /   2

Area de la mitad del círculo  =   157  cm cuadrados   

Ahora calculamos el área total del rectángulo más medio círculo.

Area total  =  240   cm cuadrados + 157 cm cuadrados   =      397   cm cuadrados

Figura para cálculo de áreas.

3.4.2.  También se puede calcular el área sombreada de una figura.

Ejemplo El área sombreada es la diferencia entre el área del cuadrado y el área del círculo.

Área del cuadrado: Lado   por  Lado  

Area del cuadrado  =  12  cm   x  12  cm

Area del cuadrado  =   144 cm cuadrados

Area del círculo  =    pi por radio al cuadrado    

Área del círculo  =  3,14    x  ( 6 cm ) elevado al cuadrado.    tenga en cuenta, el 6 debe multiplicarse dos veces.

Area del círculo =  3,14    x   36 cm cuadrados         

 Area del círculo  =  113,04    cm cuadrados

Figura para cálculo de área sombreada

 

Entonces calculamos el área sombreada

Area sombreada  =  144  cm cuadrados  -      113,04 cm cuadrados 

Area sombreada  =  30,96 cm cuadrados    

En la guía se encuentran actividades para desarrollar en el cuaderno.

4.  EL TRIANGULO

Concepto: Es una figura geométrica y plana, es decir, es un polígono de tres lados que da origen a tres vértices y tres ángulos internos. Es la figura más simple. Un triángulo se representa con tres letras mayúsculas de los vértices (ABC).
     

El Triángulo según lados se clasifica en:

a) Equilátero,

b)  Isósceles,

c)  Escaleno

TRIANGULO EQUILATERO: Es el que tiene los tres lados iguales y por lo tanto sus ángulos también son iguales siendo cada uno de 60º.

TRIANGULO ISOSCELES: Es el que tiene dos lados iguales. Los ángulos opuestos a los lados iguales miden lo mismo.

TRIANGULO ESCALENO: Es el que tiene los tres lados y los tres ángulos desiguales.

Clases de triángulos según sus lados 

ACTIVIDAD.

Dibujar un triángulo de cada clase y medir sus lados con una regla y sus ángulos con un trasportador. Puedes dibujar  de los que aparecen en ésta guía.

El siguiente video nos ilustra la clasificación de los triángulos.  

En el siguiete video se puede apreciar la construcción de los triángulos.